献给业余数学之王：澄清对费马原理的误解
作者： physixfan2011年8月17日，是费马（Pierre de Fermat）诞辰410周年。今天， 谷歌推出新涂鸦——费马大定理以纪念这位最专业的业余数学家。
除了费马大定理，相信大家也一定都听说过费马原理。它通常被表述为过空间中两定点的光，实际路径总是光程（或者时间）最短。费马原理是一条十分令人着迷的原理，从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律，几乎包含了几何光学的全部内容。然而，对于这个原理，很多人都存在着或多或少的误解，这是由于费马原理表述有误造成的。在今天这个有纪念意义的日子里，本文就来一一澄清。
首先说明一点，在费马原理的表述中，光程和光传播所用的时间是等效的，因为这两个量之比就是真空中的光速c。所以本文中后面只说光程而不说时间。
百度百科的不靠谱说法
不妨先看看 百度百科 给出的费马原理的定义：光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。这是一种很常见的错误表述，只要看下面这个平面镜反射的例子就知道了。
从A发出的光线，经过平面镜的反射到达B点，这条光线必然是可以真实存在的。可是这是光程最短的路径吗？显然不是，从A发出直接到达B的光线光程更短。所以使用“最小”一词是绝对错误的，费马原理其实是个局域性的原理，所有诸如最小的词均应当替换为极小。只要光程取极小值，无论是否是最小，它都是真实存在的光线。
用“极小值”表述正确吗
…盘点数学里十大不需要语言的证明
作者： physixfan0. 勾股定理&余弦定理
这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。
实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。
1. 关于反正切的恒等式
…IE浏览器用户智商低? Meme理论的伟大胜利
作者： physixfan今天方舟子的一条微博引发了我的兴趣：“调查结果表明IE使用者的平均智商明显低于其他浏览器使用者。可能是因为智商低的人较不愿更新、改变浏览器。http://t.cn/aYPoqN” 微博里的链接正是发布这个调查结果的论文原文，写的非常正规、非常让人信服。
然而，这个调查报告发布者本人，却在几天之后在其网站上自己发布了澄清消息，标题就是《IE浏览器调查其实只是个恶作剧》，之后他又发了文章《这个恶作剧是如何开始及传播的》。。。也就是说其实这个调查根本就不存在，他只是自己捏造了这样一个调查报告出来！
可是就是这样一个论文却引起了广泛的反响，BBC\CNN\新华网\凤凰网等很多很多有影响力的媒体，都针对这篇论文做了报道及严肃讨论。就连我一向十分敬重、怀疑精神非常牛逼的方舟子居然都中枪了…还好他发了这条微博之后立刻就又发了辟谣贴。。。（话说，这则谣言真的很难被考据癖给戳穿 因为为了造谣传谣作者自己注册了网站 并且写了一篇十分正规的学术论文…）…
《三体》系列：高潮遍体，BUG永生
作者： physixfan有剧透，慎入！！！
今天看书评看到了一篇三体III的评论《《三体3》：高潮遍体，BUG永生》，写的确实有道理，当时太激动太欣喜读得太快了，没有注意到那么多BUG。现在把三体系列的有BUG的地方都放到这里来讨论一下吧：
1.黑暗森林理论
黑暗森林理论是整个《三体》系列的核心，有关黑暗森林理论的对错，似乎很多人仍然在争论吧，我个人是属于认为它是正确的那一派的。因为这个问题的争论似乎谁也说服不了谁，就先搁置争议吧，继续看其他BUG。
2.缸中之脑
三体III里面，云天明的大脑被单独发送到了三体文明中，然后人类期待他当间谍。可是，刘慈欣似乎没有考虑到缸中之脑的问题：一个大脑过去了，当他苏醒的时候，他怎么知道自己真的有了肉身，真的苏醒了，真的在和三体人实打实的交流；还是他只是一个缸中之脑，所有他看到的景象只不过是三体人专门设计给他的一台精妙的电脑发送的神经信号呢！如果连这个都无法分辨，他怎么敢开展他的间谍活动呢？如果他仅仅是缸中之脑，而贸然开展了貌似非常牛逼的间谍活动，最终让人类文明胜利了，那他的实际贡献仅仅是让三体人明白了他是间谍，而已。
关于这个致命BUG，三体系列的同人小说《三体X观想之宙》给补上了。
3.智子的存在
三体系列似乎非常重视光速不能被超过的问题，但是智子这个神一般的存在却让信息可以超光速传递（不需要时间的传递信息），而超光速传递信息就势必会违反因果律，这已经属于违背基本物理信仰了。现代物理对量子纠缠的解释应该是量子态的信息确实是瞬间传递，算是超光速，但是发送的是1还是0是纯粹随机事件，无法调制信息，从而也就无法超光速传递有效信息了。。
如果说仅仅是违背当前的物理原理这样还好，毕竟是科幻小说嘛，但是智子的存在却是和核心设定——黑暗森林理论相矛盾的。黑暗森林理论能成立的一个原因就在于宇宙间的文明交流不畅，但是智子的bug存在却让交流又畅通了。。。而且连三体文明这种正常文明都造的出来智子，那宇宙中各个文明就基本不存在交流障碍了。。…
e，一个常数的传奇
作者： physixfan自然对数的底e是一个令人不可思议的常数，一个由lim (1+1/n) n 定义出的常数，居然在数学和物理中频频出现，简直可以说是无处不在。这实在是让我们不得不敬畏这神奇的数学世界。
欧拉恒等式
但凡说起e，一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式——被誉为世界上最美丽的公式。
$$e^{\pi i}+1=0$$
数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i，以及数学中最基本的两个符号,等号和加号，就这样通过一个简单的恒等式联系在了一起，实在是让人叹服。
这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转π/2, 可以分别得到结果1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ。根据欧拉公式 e iθ = cosθ+isinθ可以看出 e iθ 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以 e iπ 意味着单位向量逆时针旋转了π，结果显然是-1。
增长规律
这个世界上有许许多多的事物满足这样的变化规律：增长率正比于变量自身的大小。例如放射性元素衰变的时候，衰变率就和现存的放射性物质多少成正比；资源无穷多的社会，人口出生率将（近似的）和现存人口数成正比等等。而此类变化规律所确定的解，则是由以e为底的指数增长所描述的：如果x的变化率等于变量x自身的λ倍，那么该变量随时间t的函数则为
$$x=Ce^{\lambda t}$$（C是任意常数）
而e的直观含义正是增长的极限，这个问题在 数学常数e的含义 中有过详细的介绍。
正态分布
…怀疑精神&考据精神
作者： physixfan今天早晨起床后，便看到人人网上满屏幕都是转发的这样一条状态：“35，一个神奇的数字。动车相撞35人死亡，河南平顶山矿难35人死亡；鄂湘暴雨造成35人死亡。知道为什么死亡人数控制在36人以内吗？超过36人，市委书记这个级别的要撤职，所以一开始发生，就注定了死亡人数不会超过36。”相信常上人人网和微博的同学都看到了这样一条状态。当时我就很震惊，很义愤填膺。可是仔细一想我就开始怀疑这条状态的真实性，于是我并没有转发这条状态，而是发了条状态求证此事的真伪。这条状态没发出多久，就看到辟谣贴逐渐出来了。其实要想验证这条状态的真伪很简单，只要Google一下“河南平顶山矿难”，就可以看到2010年的来自网易和新浪的新闻写道，河南平顶山矿难47人遇难；鄂湘暴雨这种两个省份的自然灾害，跟市委书记有什么关系。基于这两条信息，就可以基本判断这条状态属于自己捏造的。而后来的事实证明（来自18点左右的搜狐新闻），现在动车组追尾事故的死亡人数已经达到38人。而这38人毫无疑问仍然还是有所隐瞒的，在这之后应当人数还会继续上升。这篇日志的目的，其实并不是在对这条状态辟谣，因为这个谣言假的有点太明显。我只是想把这个作为一个引子来表达一下我的观点。
在当今的网络时代，一条惊人的消息，无论真假，因为人人网和微博上转发按钮的存在，传播速度快的惊人。无论是真新闻，还是假谣言，只要很短的时间便可以传遍整个互联网。可是辟谣者就没有这么给力，一般的辟谣贴不仅仅一定要费很大的口舌才能说清楚为什么某消息是谣言，而且它本身一定没有谣言那么吸引眼球。因此，这就造成了当今网络上的一个不可辨驳的现况：人人网和微博成了当今最大的造谣传谣基地，在我经历的这两年里已经看过不知道多少这样的谣言疯狂传播。有些人可能并没有考虑过这消息的真伪但是也转发了，或者是仅仅就是觉得有意思，知道它是假的也转发了。这样做当然无可厚非，但是却在客观上起到了传谣的效果，让更多没有那么强的辨别真伪能力的人看到了这些谣言。造谣传谣现象是由于网络本身的特性以及人们的心理原因造成的，可以说根本就是无法避免。
不要以为这样的造谣传谣只在中国这片神奇的土地上才会出现，不要高估了所谓发达国家的平民大众。美国民众传谣的情况同样屡见不鲜，美国的twitter同样是谣言传播的圣地。果壳网的谣言粉碎机也不知道粉碎了多少由美国人民传开的谣言。因此不要碰到个什么事儿就把它归结为中国人怎么怎么样，为什么总觉得中国的人民大众就低别人一等呢。
既然在全人类的范围内，谣言都会如野火烧过草原一般疯狂传播，我们能做什么呢？我想，最重要的，就是呼吁大家建立起来怀疑精神和考据精神。在看到一条惊人的消息之后，点击转发之前，我们是不是可以先略微怀疑一下它的真实性呢？如果觉得这条消息有假的可能性，那么我们可不可以自己先google一下看看这个说法是不是靠谱呢？有些消息只要简单的google一下就可以证实或者证伪；但是对于很难考证真伪的消息怎么办呢？对于这样的消息，我的建议是暂认为它可能真可能假，不要转发，在跟别人谈论起的时候也说清楚这消息真假难辨就ok了。
于是有人要问了，好吧，我怀疑某条消息的真伪了，那么我考证的时候怎么要知道哪些东西是可信的，哪些东西是不可信的呢？总不能什么都不信。对于这个问题，我想至少应该在心里建立起来这么一个靠谱程度优先级吧。首先一定要明确，在人人网上出现的状态、新浪微博以及twitter上的微博，他们是所有消息来源里靠谱程度最低的，因为很可能这些话本来只是随便构造出来的段子。其次，比较值得相信的地方，一般来说就是维基百科、大新闻网站（例如新浪网易等）、著名杂志报纸。最值得相信的地方，就是著名学术期刊，因为这里得出的学术结论不会因为转载而被夸张走形（科技新闻、养生小报导致的谣言实在太多啦）。而有一种信息来源目前无法界定其靠谱程度，那就是政府\专家说的话。对于这个问题，后面还会再谈到。
但是，其实最重要的，是首先要有怀疑精神。下面我先举几个例子，大家看看是不是自己有过怀疑精神：…
